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巧用中国剩余定理解决余数问题

2019-08-26 11:16:20 | 中公教育

近年来市考行测数量关系题目中出现很多余数相关问题,多数同学仅仅掌握了基本的同余特性解决余数问题的基本方法,但是对于一些特殊的题型不会应对,我们可以采用一种新的方法——中国剩余定理来解决实际问题,明确题目形式,掌握基本解题方法,利用初等数论解同余式或许会给我们带来一些意想不到的效果。天津中公教育专家在此进行深入讲解和分析。

一、基本形式:

一个数除以A余数为a,除以B余数为b,除以C余数为c,求符合条件的数。

二、常考题型:

1、和同加和(X=除数的公倍数+除数和余数的和)

【例】某歌舞团200多人在大厅列队排练,若排成7排则多2人,排成5排则多4人,排成6排则多3人,问该歌舞团共有多少人?

中公解析:题目中除数和余数虽然不同,但是除数和余数的和都为9,这个时候称之为和同,歌舞团人数为7、5、6的公倍数加上9,此时人数可以表示为210n+9,人数为200多人,则此时歌舞团人数=210+9=219。

2、余同加余(X=除数的公倍数+余数)

【例】某班进行排队,每排4个、5个、6个最后一排都余2个,问这个班最少有多少人?

中公解析:题目中除数4、5、6各不相同,但余数都为2,此时我们称之为余同,此时班级人数为除数的公倍数+2,班级人数可以表示为60n+2,则此时班级最少人数为60+2=62人。

3、差同减差(X=除数的公倍数-差)

【例】三位运动员跨台阶,台阶总数在 100-150 级之间,第一位运动员每次跨 3 级台阶,最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶,最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶,最后一步还剩 4 级台阶。问:这些台阶总共有多少级?

中公解析:题目中除数和余数的差均为1,此时我们称之为差同,此时台阶数为除数的公倍数-5,台阶数可以表示为60n-1,又已知台阶数处于100-150之间,所以,此时n=2,符合条件的数只能是60×2-1=119。

4、逐步满足法(从除数最大的开始满足)

【例】一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班最少有多少学生?

中公解析:题目可以看成,除以3余2,除以5余3,除以7余4。不同于任何一种上述题型,此时用的方法是“逐步满足法”,从除数最大的7开始,从“除7余4的数”中找出符合“除以5余3的数”,就是在7的基础上一直加4,直到所得的数除以5余3,不难发现满足“除以7余4”和“除以5余3”的最小的数为18,接下来只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除以3余2”即可,人数可以表示为35n+18,当n=1时三个条件全部满足,则班级学生人数最少为53人。另外,考试中行测部分均为选择题,结合选项带入排除也不失为一种行之有效的方法。

数论问题中的余数问题看似困难,但是掌握基本的解题方法,根据已知条件把实际问题转变为基础的数论问题,判断属于哪一类题型,考场时间有限,一定要做到稳、准、狠、快。对于即将到来的2020市考,你准备好了吗?中公教育会一路伴你同行!



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